Question

二次函数的图像性质与一元二次方程不等式关系

Answer 1

这个应该是初中的知识点吧

Answer 2

一元二次不等式是二次函数图像的性质的一部分。

Answer 3

二次函数f(x)=ax²＋bx＋c(a≠0) (一般式)
=a(x＋m)²＋n(顶点式)
=a(x–x1)(x–x2) (交点式，仅限于与x轴有交点的二次函数，与x轴交点横坐标为x1，x2)
对称轴为x=–m=–b/(2a)，顶点为(–m，n)

a＞0时，f(x)开口向上，x=–m时，f(x)取得最小值。n＞0(即b²–4ac＜0)时，f(x)＞0恒成立；n=0(即b²–4ac=0)时，f(x)与x轴相切，f(x)≥0；n＜0(即b²–4ac＞0)时，f(x)与x轴有两交点(x1，0)，(x2，0)，(x1＜x2)，此时x∈(x1，x2)时，f(x)＜0，x∈(–∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f(x)＞0。

a＜0时，f(x)开口向下，x=–m时，f(x)取得最大值。n＞0(即b²–4ac＞0)时，f(x)与x轴有两交点(x1，0)，(x2，0) (x1＜x2)，此时x∈(x1，x2)时，f(x)＞0，x∈(–∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f(x)＜0；n=0(即b²–4ac=0)时，f(x)与x轴相切，f(x)≤0；n＜0(即b²–4ac＜0)时，f(x)＜0恒成立。

一元二次不等式可以通过二次函数图像直接得出结果，比如x²＋5x＋6＞0
y=x²＋5x＋6，开口向上，与x轴交于(–2，0)
(–3，0)，从图像上直接可以看出，当y＞0时，x＜–3或x＜–2

解答不等式的问题也可以通过转化为研究两个函数，进而求解。
比如x²＋e^x–x–a＞0恒成立，求a的取值范围
即e^x＞–x²＋x＋a恒成立
可以转化为研究f(x)=e^x，g(x)=–x²＋x＋a，题目也就转化为当a取何值时，f(x)恒在g(x)上方。
临界状态:f(x)与g(x)相切，设切点(m，n)
则e^m=n=–m²＋m＋a
切点处斜率=e^m=–2m＋1
e^m＋2m–1=0
y=e^m＋2m–1是单调递增的，而y(0)=0
可解得m=0，n=1，a=1
所以f(x)＞g(x)恒成立时，a＜1