Question

已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx是偶函数,设g(x)=log4(a*2^x-4a/3)

若函数y=f(x)-g(x)有且只有零点求实数a取值范围

Answer 1

1.
先求K根据f(x)=log4(4^x+1)+kx偶函数得f(x)=f(-x)
即
log4(4^x+1)+kx=log4[1/(4^x)+1]-kx
得出k=-1/2
2.
求实数a取值范围
y=f(x)-g(x)有且只有零点则log4(4^x+1)+kx=log4(a*2^x-4a/3)
先由g(x)定义域有a*(2^x-4/3)>0当x＞log2(4/3)时a＞0
当x＜log2(4/3)时a＜0
3.
下面验证否只有解并求出该解:
了使
f(x)=g(x)
==>
书写简化先设2^x=t
即
(a-1)t^2-4a/3t-1=0
了使
t=2^x
有且只有解,必须△=b^2-4ac=0
此时f(x)=g(x)
唯解
t=2^x=-b/(2a)
即
当16/9a^2+4(a-1)=0
时
f(x)=g(x)
有唯解
得a1=-3
对应唯解
t=2^x={4a/3}
/
{2(a-1)}=1/2
也即
x=
-1
或者a2=3/4
对应唯解
t=2^x={4a/3}
/
{2(a-1)}=-2
也即
x=log2(-2)
应舍去
结论:当且仅当a=-3时有且只有零点且该解x=
-1