Question

八年级上数学题 第十一章 全等三角形

如图，∠ABC=90°，AB=AC，D为AC上一点，分别过A、C两点作BD的垂线，垂足分别为E、F。求证：EF=CF-AE。

Answer 1

证明：∵AE⊥EB，CF⊥EB（已知）
∴∠AEB=∠CFE=90°（垂直定义）
∵∠CFE是△CFB的外角（已知）
∴∠FCB+∠FBC=∠CFE=90°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）
∵∠ABC=∠ABE+∠FBC=90°（已知）
∴∠FCB=∠ABE（同角的余角相等）
∵在△ABE和△FBC中：
｛∠AEB=∠CFE（已证）
∠FCB=∠ABE（已证）
AB=AC （已知）
∴△ABE≌△FBC（AAS）
∴AE=FB，CF=BE（全等三角形的对应边相等）
∴EF=BE-FB=CF-AE（等量代换）

Answer 2

∠ABE+∠FBC=∠FBC+∠FCB=90° 得到∠ABE=∠FCB
又AB=BC 所以RT△ABE全等于RT△BCF
那么BE=CF AE=BF
EF=BE-BF=CF-AE