Question

列向量线性相关可以推出什么?

Answer 1

列向量线性相关，说明这组列向量里有一些向量可以由其它几个向量组合出来。

一般来讲，如果一组列向量的数目超过其维数，则该组列向量一定线性相关。如果这组列向量数目与向量的维数相同，又存在线性相关的情况，则这组向量就叫做“不满秩”，就是不相关的向量数比向量维数小的另一个说法。

在不满秩的情况下，用这组列向量来做组合，它的数学表达式是y=Ax，其中x是组合用的系数，A是这组列向量，y是用A中的列向量乘上系数x在加到一起后(这个运算叫组合)得到的结果。其中x是任意可选的，按理，y也可以布满n维空间的每一个角落。

但由于A不满秩(列向量线性相关)，A就只能“张成”n维空间的一个局部区域，比如对于一个3维空间，如果A里面是3个列向量，且线性相关，则A就只能张成一个扁平的子空间，空间的秩为2；或者张成一个直线(秩为1)。

总结如下：

反过来看，若Y只是A中的一部分，则意味着x的选择受限了，X就不满秩。如果你选一个y不在A中，则你就找不到一个能使y=Ax成立的x，从方程角度看就叫无解。

若A不满秩，而y选了A空间中的某点，这是可以找到无穷个x能够满足y=Ax，这些x集合形成一个子空间，可用X表示，并且有rA+rX=n的关系。