Question

已知如图三角形ABC是等边三角形过AB边上的点D作DG//BC交AC于点D在GD的延长线上取点E使DE=DB连接AE,CD

过点E作EF//DC,交BC于点F,请你连接 AF并判断三角形 AEF是怎样的三角形，是证明你的结论。

Answer 1

（1）因为DG平行BC，所以，三角形ADG相似三角形ABC，
所以，三角形ADG是等边三角形，
即有 AD=AG=DG，角BAC=角AGD=60度。
进而有，BD=AB-AD=AC-AG=CG，因为DE=BD，所以，DE=CG，
因此有，EG=DE+DG=CG+AG=AC，
所以，三角形AGE全等三角形DAC（SAS）。
（2）三角形AEF是等边三角形，理由如下：
因为EF平行CD，DE平行BC，所以，四边形EFCD是平行四边形，
所以，EF=CD，DE=CF。
由（1）中三角形AGE全等三角形DAC，得，AE=CD，于是，AE=EF。
因为BF=BC-CF=AB-BD=AD，所以，同样可证，三角形ABF全等三角形CAD，
所以，AF=CD=AE。进而有，AE=EF=AF，所以，三角形AEF是等边三角形。

Answer 2

解：∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC
又∵DG//BC
∴∠ADG=∠B=60°
又∵∠ADG+∠ADE=180°∴∠ADE=120°
同理：∠DGC=120°，∠AGD=60°
∴∠ADE=∠DGC，AD=AG，△ADG是等边三角形
∴AD=DG
又∵DB=AB-AD,GC=AC-AG
∴DB=GC
又∵DE=DB∴DE=GC
∴△ADE≌△DGC
∴AE=DC
又∵EF//DC，DG//BC
∴EF=DC∴AE=EF
又∵∠AEF=∠AED+∠DEF=∠DCG+∠DCF=60
∴△AEF是等边三角形

Answer 3

（1）因为DG平行BC，所以，三角形ADG相似三角形ABC，
所以，三角形ADG是等边三角形，
即有 AD=AG=DG，角BAC=角AGD=60度。
进而有，BD=AB-AD=AC-AG=CG，因为DE=BD，所以，DE=CG，
因此有，EG=DE+DG=CG+AG=AC，
所以，三角形AGE全等三角形DAC（SAS）。
（2）三角形AEF是等边三角形，理由如下：
因为EF平行CD，DE平行BC，所以，四边形EFCD是平行四边形，
所以，EF=CD，DE=CF。
由（1）中三角形AGE全等三角形DAC，得，AE=CD，于是，AE=EF。
因为BF=BC-CF=AB-BD=AD，所以，同样可证，三角形ABF全等三角形CAD，
所以，AF=CD=AE。进而有，AE=EF=AF，所以，三角形AEF是等边三角形。

Answer 4

等边三角形
AD=DG ∠ADE=∠DGC DE=DB=GC
△ADE≌△DGC
AE=DC=EF
∠AEF=∠AED+∠DEF=∠DCG+∠DCF=60
所以△AEF是等边三角形