Question

n/a^n的极限用定义证明是什么?

Answer 1

lim a^n/n!=0

|a^n/n!-0|

=|a^n| / n!

≤|a|^n / n!

=|a|*|a|*…*|a| / 1*2*…*n

取N=[|a|]+1>|a|

对任意ε>0，存在N=max{[|a|]+1，c/ε}>|a|>0，当n>N，有|a^n/n!-0|<ε

根据定义，lim a^n/n!=0

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。