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分享过程如下。利用极坐标变换时，原式=2∫(0,π/4)[√(1+sec²θ)-1]dθ=2∫(0,π/4)√(1+sec²θ)dθ-π/2。
对∫(0,π/4)√(1+sec²θ)dθ，令t=tanθ。∴∫(0,π/4)√(1+sec²θ)dθ=∫(0,1)√(2+t²)dt/(1+t²)。
对∫√(2+t²)dt/(1+t²)，令t=(√2)tanα。∴∫√(2+t²)dt/(1+t²)=2∫dα/[(1+sin²α)cosα]=∫d(sinα)/[(1+sin²α)(1-sin²α)]=…=(1/2)ln丨(1+sinα)/(1-sinα)丨+arctan(sinα)+C。
∴∫√(2+t²)dt/(1+t²)=ln[t+√(2+t²)]+arctan[t/√(2+t²)]+C。∴∫(0,1)√(2+t²)dt/(1+t²)=ln(1+√3)-(1/2)ln2+π/6。
∴原式=2ln(1+√3)-ln2-π/6。
对∫(0,π/4)√(1+sec²θ)dθ，令t=tanθ。∴∫(0,π/4)√(1+sec²θ)dθ=∫(0,1)√(2+t²)dt/(1+t²)。
对∫√(2+t²)dt/(1+t²)，令t=(√2)tanα。∴∫√(2+t²)dt/(1+t²)=2∫dα/[(1+sin²α)cosα]=∫d(sinα)/[(1+sin²α)(1-sin²α)]=…=(1/2)ln丨(1+sinα)/(1-sinα)丨+arctan(sinα)+C。
∴∫√(2+t²)dt/(1+t²)=ln[t+√(2+t²)]+arctan[t/√(2+t²)]+C。∴∫(0,1)√(2+t²)dt/(1+t²)=ln(1+√3)-(1/2)ln2+π/6。
∴原式=2ln(1+√3)-ln2-π/6。
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图为信息科技（深圳）有限公司
2021-01-25 广告
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追问
太妙了！感谢！能否再帮我看看能不能利用对称性奇偶性还有极坐标系进行运算呢？因为这个题是老师在讲这方面内容时出来的，我感觉应该是要利用一些性质计算的。
追答
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天在下雨凸透镜
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