Question

在复变函数中，反三角函数Arctg(z)=Ln[(1+iz)/(1-iz)]/(2i) Arcsin(z)=Ln[iz+sqrt(1-z^2)]/i Arccos(z)=Ln

为什么只有
Arcsin(z)=Ln[iz+sqrt(1-z^2)]/i
Arccos(z)=Ln[z+i*sqrt(1-z^2)]/i
单只啊，没有
Arcsin(z)=Ln[iz-sqrt(1-z^2)]/i
Arccos(z)=Ln[z-i*sqrt(1-z^2)]/i
啊？谢谢了

Answer 1

呵呵,我也想问同样的问题来着。后来我想通了，是这样的：
其实[iz+sqrt(1-z^2)]和[iz-sqrt(1-z^2)]是同一个东西，在复数里面，不妨设z=a+bi，其中a，b为实数，那么[iz+sqrt(1-z^2)]=-b+ai+sqrt(1-a^2+b^2-2abi)
[iz-sqrt(1-z^2)]=-b+ai-sqrt(1-a^2+b^2-2abi)
若Q为(1-a^2+b^2-2abi)的幅角，则设W为sqrt(1-a^2+b^2-2abi)的幅角。
W=（Q+2k*pie）/2，其中k是整数，pie=3.1415926......
那么sqrt(1-a^2+b^2-2abi)=[sqrt((1-a^2+b^2)^2+4(ab)^2)]*[cos(Q/2+k*pie)+isin(Q/2+k*pie)]
而-sqrt(1-a^2+b^2-2abi)=[sqrt((1-a^2+b^2)^2+4(ab)^2)]*[cos(Q/2+(k+1)*pie)+isin(Q/2+(k+1)*pie)]
因为k也好，k+1也好，代表的都是无穷个整数，所以本质上代表同一个式子。