Question

若关于x的不等式x^2-ax-6a<0的解区间长度不超过5,试求a的取值范围

Answer 1

原题等价于方程x^2-ax-6a=0的两根的根间距小于等于5时a的取值范围。
令x^2-ax-6a=0的两根为x1和x2,则由韦达定理：
x1+x2=a
x1*x2=-6a
根间距=|x1-x2|<=根号5
两边平方得：
5>=|x1-x2|^2
=(x1+x2)^2-4x1*x2
=a^2+24a
化为a^2+24a-5>=0
解得a>=-12+根号149或者a<=-12-根号149（式1）
而x^2-ax-6a=0的根判别式=(-a)^2-4(-6a)>=0
解得a>=24或者a<=0（式2）
（式1）和（式2）的a的交集则为所求a>=24或者a<=-12-根号149

Answer 2

由题意可知，对于方程x²-ax-6a=0有：
△=a²+24a=a(a+24)>=0
---->a>=0或a<=-24
设方程的根为x1,x2,则有：x1+x2=a, x1x2=-6a
由题意，解的区间长度不超过5，则|x1-x2|<=5
--->(x1-x2)²<=25
--->(x1+x2)²-4x1x2<=25
---->a²+24a-25<=0
---->(a+25)(a-1)<=0
---->-25<=a<=1
综合可知，a的范围为[-25,24]U[0,1]