Question

如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于E点，

连接AE。试判段△ADE的形状，并证明你的结论。

详细一点

Answer 1

解：(1）证明：

如图，在AB上截取BH=BD

∵⊿ABC是等边三角形

∴∠B=60,ZB＝AC,∠ACB＝60

又∵BH=BD

∴AH=DC

∵CE平分∠ACB的外角,且∠ACB=60

∴∠ACE＝60

∴∠DCE＝∠ACB＋∠ACE＝120

∵∠B＝60,BH=BD

∴⊿BHD是等边三角形

∴∠BHD=60

∴∠AHD＝120

∴∠AHD=∠DCE

∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC

且∠ADC＝∠HAD＋∠B

∴∠ADE＋∠EDC＝∠HAD＋∠B

又∵∠ADE＝∠B＝60??

∴∠HAD＝∠EDC

在⊿AHD与⊿DCE中

｛∠HAD＝∠EDC

｛∠AHD=∠DCE

｛AH=DC

∴⊿AHD≌⊿DCE（AAS）

∴AD＝DE

（2）

不变，如图，在AB的延长线上截取BH=BD

∵⊿ABC是等边三角形

∴∠2＝∠1＝60,AB=BC,∠ABC=60

又∵BH=BD

∴AH=CD且⊿BDH是等边三角形

∴∠H＝60,∠BDH＝60

又∵CE平分∠ACB的外角，且∠ACB＝60

∴∠3＝60

∴∠3＝∠H

∵∠ADH=∠ADE＋∠BDH－∠4＝120－∠4

且∠DEC＝180－∠3－∠4＝120－∠4

∴∠ADH＝∠DEC

∴在⊿AHD与⊿DCE中

｛∠3＝∠H

｛∠ADH＝∠DEC

｛AH=CD

∴⊿AHD≌⊿DCE（ASA）

∴AD=DE

Answer 2

三角形ADE为等边三角形，理由如下：
过D作AB的平行线交AC于F，则三角形DFC为等边三角形
在三角形ADF和三角形EDC中
角ADE＝60度-角FDE，角EDC＝60度-角FDE
DC＝DF
角DCE＝角DFA＝120度
所以，三角形ADF和三角形EDC全等
AD＝ED，角ADE＝60度，所以三角形ADE为等边三角形

Answer 3

设AC交DE于F，作辅助线AB边取BH=BD
（主要思想是证三角形AHD全等于三角形DCE，用角角边）
因为AB=BC，BH=BD，所以AH=DC（一对边）

因为BH=BD，角B60度，所以三角形BHD等边，所以角BHD为60度则角AHD为120度
因为角C外角120度，CE平分它，所以角C+角ACE=角DCE=120度，即角AHD=角DCE(一组角)

因为角ADE=角ACE=60度，角AFD=角ECD,所以角DAC=角CED，因为HD||CA，所以角DAF=角ADH，所以角CED=角ADH（一组角）

所以三角形AHD全等于三角形DCE，所以AD=DE，以为角ADE=60度，所以三角形ADE为等边三角形

Answer 4

厉害