Question

急~~！！求解一道高中数学题！！数列！

已知a1=2,an=4an-1+2的n次平方，求an （要求用构造x的方程解答）

麻烦各位大哥大姐帮帮忙！
/(ㄒoㄒ)/~~ 摆脱了~！！！

Answer 1

解法一：a[n]=4a[n-1]+2^n ①
其特征方程为:
x=4x+2^n
解得其特征根(不动点)为:
x=-2^n/3
①左右两边同时加上不动点,得:
a[n]-2^n/3=4a[n-1]+2^n-2^n/3=4{a[n-1]+2^(n-1)/3}
故数列{a[n]-2^n/3}的公比是4,由a[1]=2,易知其首项为:
a[1]-2/3=2-2/3=4/3
故数列{a[n]-2^n/3}的通项公式是a[n]-2^n/3=4/3×4^(n-1)=4^n/3
故a[n]=4^n/3-2^n/3(自己化简一下)

解法二：a[n]=4a[n-1]+2^n ①
①式左右两边同时除以2^n,得:
a[n]/2^n=4a[n-1]/2^n+1=2{a[n-1]/2^(n-1)}+1
令b[n]=a[n]/2^n,上式可转化为b[n]=2b[n-1]+1 ②
其特征方程为:
x=2x+1
其特征根(不动点)为:
x=-1
②式左右两边同时减去不动点可得:
b[n]+1=2b[n-1]+1+1=2(b[n-1]+1)
即{b[n]+1}的公比是2.由a[1]=2,易知其首项为:
b[1]+1=a[1]/2+1=2/2+1=2
故数列{b[n]+1}的通项公式是b[n]+1=2×2^(n-1)=2^n
故a[n]/2^n+1=2^n,即a[n]=2^n[2^n-1]

解法三：参考 liyalin313 的解答.

Answer 2

原式可变形为 an+2^n=4(an-1 + 2^n-1) 然后把 an+2^n 当做一个新数列 bn 则bn是等比数列 剩下的自己算吧

Answer 3

已知an=4an-1+2n,等式两边同时处以2n，得到an/2n=2*an-1/2n-1+1,令an/2n=bn。
则有bn=2bn-1+1，变形得到新数列cn=bn+1=2cn-1=2*(bn-1+1),这是一个等比数列，易求cn=c1*2n-1=( b1+1) *2n-1=(a1/2+1)* 2n-1=2n,所以an=bn*2n=（cn-1）*2n=（2n-1）*2n。