Question

函数在某点的导数与导函数在该点的极限有什么区别？

Answer 1

导函数简称导数,极限是导数的前提。极限与导数的区别：定义不同：导数极限的思想为近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科；左右导数，也叫导函数值，为微积分中的重要基础概念。  

作用不同：

利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念；左右导数只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

性质不同：

极限具有唯一性、有界性、保号性、保不等式性、和实数运算的相性、与子列的关系等性质特点；左右导数具有单调性，若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。

一个函数在某一点处可导，那么这个函数在该点必然是连续的，其导函数是用来描述在这点该函数的变化率的。

一个函数的导函数也是一个函数，其极限就是导函数的极限。一个函数在某点及其邻域内的导函数存在，不能确定该导函数在这一点是连续的，以及在这点的导函数极限存在。因此，f(x)阶可导，洛必达只能用到n-1阶。

另外还有一个定理叫导数极限定理，即一个函数在某点及其领域内连续，且导函数极限存在，那么此函数在该点的导数等于在该点的导函数极限。