Question

幂级数∑(n=1,∞)nx^n的收敛域与和函数怎么求?

Answer 1

如下：

把求和项里的x提出来一个。

s(x)/x=∑(n=1，∞)nx^（n-1）。

两边同时积分，∫∑(n=1，∞)nx^（n-1）积分得∑(n=1，∞)x^n级数=1/（1-x）-1，（|x|<1)。

再把等式两边同时求导，得s(x)/x=(-1)/(1-x)^2，（-1<x<1）。

x=-1时代入原式级数发散，x=1时代入原式级数发散，故收敛域（-1，1）</x<1）。

介绍

幂级数解法是求解常微分方程的一种方法，特别是当微分方程的解不能用初等函数或或其积分式表达时，就要寻求其他求解方法，尤其是近似求解方法，幂级数解法就是常用的近似求解方法。

用幂级数解法和广义幂级数解法可以解出许多数学物理中重要的常微分方程，例如:贝塞尔方程、勒让德方程。