Question

根号1+x^2的不定积分是什么?

Answer 1

根号1+x^2的不定积分是(1/2)[arcsinx + x√(1 - x)] + C。

x = sinθ，dx = cosθ dθ。

∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ。

= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C。

= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C。

= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C。

= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C。

许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行，这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。