Question

高数反常积分题？

请给出详细的解答过程 谢谢

Answer 1

分享一种解法，转化成贝塔函数【B(a,b)】、再利用贝塔函数与伽玛函数【Γ(α)】的关系和性质求解。
设t=x²/(1+x²)。∴x²=t/(1=t)。∴原式=(1/2)∫(0,1)[t^(1/2)](1-t)^(3/2)dt。
根据贝塔函数的定义，原式=(1/2)B(3/2,5/2)。
而，B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)、Γ(a)=(a-1)Γ(a-1)、Γ(1/2)=√π，∴原式=(1/2)Γ(3/2)Γ(5/2)/Γ(4)=…=π/32。

Answer 2

令x=tant, dx = （sect)^2 dt
原式=∫(0,pi/2) (tant)^2/(1+(tant)^2)^4 * (sect)^2 dt
=∫(0,pi/2) (tant)^2/(sect)^8 * (sect)^2 dt
=∫(0,pi/2) (sint)^2/(sect)^4 dt
=∫(0,pi/2) (sint)^2(cost)^4 dt
=∫(0,pi/2) (sint)^2(cost)^4 dt
=∫(0,pi/2) (cost)^4 - (cost)^6 dt
然后带入公式得到
= (3)!!/(4)!! - 5！！/6！！

追问

最后的形式带不了公式啊

cos自身还要求导数

追答

∫(0,pi/2) (cost)^ndt有公式的，如果n是偶数，它等于(n-1)!!/n!!