Question

高中数学求导

已知a＞0,函数f(x)=ln(2-x)+ax^2(x＜2),
1. 设曲线y=f(x)在点(1,f(1)）处的切线为l,若l与园（x+1）^2+y^2=1相离，求a的范围。
2.求函数f（x）在[0,1]的最大值

求详解

Answer 1

f'(x)=-1/(2-x)+2ax
在点(1,f(1)）处的切线斜率
f'(1)=-1/(2-1)+2a=2a-1
而f(1)=a
则直线方程为：
y-a=(2a-1)(x-1)

l与园（x+1）^2+y^2=1相离，则

圆心到直线距离大于半径

|2(2a-1）-a|/√[(2a-1)^2+1]>1
则|3a-2|/√[(2a-1)^2+1]>1
5a^2-8a+2>0
则(4-√6)/5<a<(4+√6)/5
又a>0
则：0<a<(4+√6)/5

f'(x)=-1/(2-x)+2ax=0
则：2ax^2-4ax+1=0
x=a+√(a^2-a/2),
x=a-√(a^2-a/2),

f''(x)=-1/(2-x)^2+2a
带入驻点值，则
f''(a-√(a^2-a/2))<0，取得最大值
。。。。

Answer 2

f'(x)=-1/(2-x)+2ax
在点(1,f(1)）处的切线斜率
f'(1)=-1/(2-1)+2a=2a-1
而f(1)=a
则直线方程为：
y-a=(2a-1)(x-1)

l与园（x+1）^2+y^2=1相离，则

圆心到直线距离大于半径

|2(2a-1）-a|/√[(2a-1)^2+1]>1
则|3a-2|/√[(2a-1)^2+1]>1
5a^2-8a+2>0
则(4-√6)/5<a<(4+√6)/5
又a>0
则：0<a<(4+√6)/5

f'(x)=-1/(2-x)+2ax=0
则：2ax^2-4ax+1=0
x=a+√(a^2-a/2),
x=a-√(a^2-a/2),

f''(x)=-1/(2-x)^2+2a
带入驻点值，则
f''(a-√(a^2-a/2))<0，取得最大值