Question

球一道数学题

设f（X）为R上的单调减的奇函数，若X1+X2＞0，X2+X3＞0，X3+X1＞0，求证：f（X1）+f（X2）+f（X3）＞0

Answer 1

因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f(x)=-f(-x)
所以f(x1)=-f(-x1)，f(x2)=-f(-x2)，f(x3)=-f(-x3)
又f（x）是定义在R上的单调递减的奇函数，x1+x2>0 ,x2+x3>0,x3+x1>0
所以f（x1）<f(-x2)=-f(x2),f(x2)<f(-x3)=-f(x3),f(x3)<f(-x1)=-f(x1)
所以f(x1)+f(x2）+f(x3)<-f(x2)-f(x3)-f(x1)，
即2[f(x1)+f(x2）+f(x3])<0
所以f(x1)+f(x2）+f(x3)<0.
证毕！

Answer 2

因为F(x)为R上的单调减的奇函数 且x1>-x2, x2>-x3,x3>-x1,则f(x1)<f(-x2)=-f(x2)f(x1)+f(x2)<0, 同理得f(x2)+f(x3)<0 f(x3)+f(x1)<0 三个不等式相加得 f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 是不是题目抄错了？

Answer 3

因为f（X）为R上的单调减的奇函数,且X1+X2＞0,故X2>-X1,则f（X2)<f（-X1)=-f(x1)即f（X2)+f（X1)<0
同理f（X3)+f（X2)<0,f（X1)+f（X3)<0
将上面三个式子相加可得2f（X1)+2f（X2)+2f（X3)<0
即f（X1）+f（X2）+f（X3）<0