Question

1/1+x的泰勒展开式是什么？

Answer 1

1/1+x的泰勒展开式是x-x^2+……+x^(2n-1) -x^2n。

实际上x/(x+1)

=1 -1/(x+1)

而1/(x+1)展开等于1-x+x^2-……+x^2n。

于是得到x/(x+1)展开得到：

x-x^2+……+x^(2n-1) -x^2n。

泰勒公式展开的技巧：

泰勒公式在x=a处展开为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2！)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n！)f(n)(a)(x-a)^n+……

设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①。

令x=a则a0=f(a)。

将①式两边求一阶导数，得f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②。

令x=a，得a1=f'(a)。

对②两边求导，得f"(x)=2！a2+a3(x-a)+……

令x=a，得a2=f''(a)/2！。

继续下去可得an=f(n)(a)/n！。

所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n！](a)(x-a)^n+……

应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，从而可以进行近似计算，也可以计算极限值，等等。

另外，一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理。f(b)=f(a)+f(ε)(b-a)，ε介于a与b之间。