Question

ln1-x的泰勒级数展开是什么？

Answer 1

ln(1-x)的泰勒级数展开是：ln(1-x)=ln[1+(-x)]=Σ(-1)^(n+1)(-x)^n/n=Σx^n/n，-1≤x。

泰勒展开

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）x²/2!+...+fⁿ（0）...

f（x）=ln(x+1)

f（0）=ln1=0

f′（0）=1/（x+1)=1

f″（0）=-（x+1)＾（-2）=-1

f3（0）=-（-2）（x+1)＾（-3）=2

f4（0）=2*（-3）（x+1)＾（-4）=-6

fⁿ（0）=（-1）＾（n+1）*（n-1）!

ln(x+1)=0+x+（-1）x²/2!+.2*x³/3!+...+（-1）＾（n+1）*（n-1）!*xⁿ/n!

=x-x²/2+x³/3-.+（-1）＾（n+1）xⁿ/n

因为ln(1+x)=Σ(-1)^(n+1)x^n/n，-1<x≤1，所以ln(1-x)=ln[1+(-x)]=Σ(-1)^(n+1)(-x)^n/n=Σx^n/n，-1≤x。

泰勒公式形式

若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x。

其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。