Question

矩阵与伴随矩阵的秩的关系是什么?

Answer 1

矩阵与伴随矩阵的秩的关系是：R(A)=n，即A可逆，$A^{*}A=E$，秩为n。R(A)=n-1时，则至少有一个n-1代数余子式不为0，即秩≥1。

又由线性方程组理论矩阵A和其伴随矩阵秩的和≤n，可得秩为1。R(A)＜n-1时，n-1代数余子式全为0，即伴随矩阵为零矩阵。

解析：

注意到，由上述分析，交换矢量的顺序，面积的值取负号，这也就是为什么行列式中，交换列向量或者行向量一次，就要取一次负号的原因。

行列式的其他计算性质，都一一反映在面积映射的线性性之中。由此我们可见，行列式就是关于“面积”的推广。他就是在给定一组基下，N个向量张成的一个N维广义四边形的体积。这就是行列式的本质含义。

设A是n阶矩阵，若r（A）=n，则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。若矩阵秩等于行数，称为行满秩若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。