Question

积分和微分是什么意思?

Answer 1

微分的几何意义并不是特别明显,它是由导数和偏导数衍生出来的一个概念.一元函数的导数有一套抽象的定义,不过它的几何意义很清楚：一个函数的导数就是其函数图像的斜率.
偏导数是一元函数的导数向多元函数推广而得到的.多元函数对某个自变量的偏导数就是把其他自变量当作固定的参数,这样就可以把这个多元函数视为一元函数.该一元函数的导数就是原来多元函数对相应自变量的偏导数.对于某个多元函数而言,有几个自变量就有几个独立的偏导数.
给定一个函数,其导数或偏导数显然会依赖于自变量：不同的自变量的值对应的导数通常是不同的.这就构成了一个(些)新的函数：(偏)导函数.
一元函数的积分包括不定积分和定积分两种.
不定积分是求导的逆运算：如果知道了某个一元函数的导函数,求这个函数自身的运算就是不定积分.
而定积分则是求面积的运算：如果我想知道一元函数 f 的图像、x 轴（x 是自变量）以及 x = a 和 x = b (其中实数 a 和 b 以及它们之间的任何实数都在 f 的定义域中) 这四条线所围出来的图形（曲边梯形）的面积,这就要用到定积分运算.要补充一点：如果函数图像在 x 轴下方,同时 a < b,定积分是曲边梯形的面积的相反数；如果既有上访的也有下方的,定积分就是一个代数和.
从概念和来源上,不定积分和定积分是完全不相干的两个概念.但是,定积分的计算可以通过牛顿-莱布尼兹公式联系起来.由于这个原因,这两个概念才有一个共同的名头：积分.
这只是微积分的基本内容.自从牛顿和莱布尼兹建立了微积分之后,数学家不断地扩展,现在,微分和积分的概念可以扩展到微分流形上,导数的概念可以推广到无穷维空间中去.