Question

y'+p(x)y=q(x)的通解是什么？

Answer 1

e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C)。

先算对应的齐次方程的解。

y'+P(x)y=0

y'/y=-P(x)

lny=-∫P(x)dx+C

y=ke^(-∫P(x)dx)

下面用常数变易法求解原方程的解。

设k为u(x)

y=u(x)e^(-∫P(x)dx)

y'=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)

代入得：

Q(x)

=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)+u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)

u(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C

y=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C)

求法：

求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。