Question

已知a,b,c为三角形ABC的三边长求证a/(1+a)<b/(1+b)+c/(1+c)

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Answer 1

证明：
由题可知a,b,c＞0,且b+c＞a
∴c＜b+c+2bc+abc
a-abc+1-bc＜1+b+c+bc
(a+1)(1-bc)＜1+b+c+bc
(1-bc)/(1+b+c+bc)＜1/(a+1)
(bc-1)/(1+b+c+bc)＞-1/(a+1) (两边同加1)
(b+c+2bc)/(1+b+c+bc)＞a/(1+a)
而左边=[b(1+c)+c(1+b)]/[(b+1)(c+1)]=b/(1+c)+c/(1+b)
∴有b/(1+c)+c/(1+b)＞a/(1+a)
即a/(1+a)<b/(1+b)+c/(1+c)