Question

一道数学难题 要简单的回答 要快的

关于x的函数f(x)=(-1/3)x^3+bx^2+cx+bc,其导函数是f'（x）。令g(x)=|f'(x)|,记g(x)在区间[-1,1]上的最大值为M
1）如果函数f(x)在x=1处有极值-4/3，试确定b、c的值；
2）若|b|>1,证明对任意的c，都有M>2；
3）若M≥K对任意的b、c恒成立，试求K的最大值；
明天要！

Answer 1

(1)f(x)=(-1/3)x^3+bx^2+cx+bc
求导得f'(x）=-x^2+2bx+c，则
f(1)=-1/3+b+c+bc=-4/3①，
f'(1）=-1+2b+c=0②，
联立①②解得 b=1,c=-1或者b=-1,c=3
(2)证明：
由g(x)=|f'(x)|=|-x^2+2bx+c|，而f'(x）=-x^2+2bx+c的对称轴x=b，由于
|b|>1，则对称轴在区间[-1,1]之外，所以
当b>1时，f'(x）在区间[-1,1]上为增函数，f'(x）max=f'(1）=-1+2b+c,f'(x）min=f'(-1）=-1-2b+c
当b<-1时，则对称轴在区间[-1,1]之外，所以
当b>1时，f'(x）在区间[-1,1]上为减函数，f'(x）max=f'(-1）=-1-2b+c,f'(x）min=f'(1）=-1+2b+c
所以|b|>1时，g(x)max=|f'(x)|max=|-1+2b+c|或者|-1-2b+c|=M
因为上述两种情形的最大值有可能同时取到的
则有2M>=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|>=|(-1+2b+c)-(-1-2b+c)|=4|b|>4*1=4
所以M>2，从而获证。
(3)若M≥K对任意的b、c恒成立,则
由g(x)=|f'(x)|=|-x^2+2bx+c|，而f'(x）=-x^2+2bx+c的对称轴x=b，
则f'(-b）=b^2+c
g(x)max=|f'(x)|max=M,由函数f'(x)的连续性，可知M一定是|f'(1）|、|f'(-1）|、|f'(-b）|三者中的一个，因此
4M>=|f'(1）|+|f'(-1）|+2*|f'(-b）|
=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|+2|b^2+c|
=(|-1+2b+c|+|b^2+c|)+(|-1-2b+c|+|b^2+c|)
>=|(-1+2b+c)-(b^2+c)|+|(-1-2b+c)-(b^2+c)|
=|(b-1)^2|+|(b+1)^2|
=(b-1)^2+(b+1)^2
=2b^2+2
>=2
所以M>=1/2
而M≥K
所以Kmax=1/2

Answer 2

b=-2/3
c=1

Answer 3

1） 有极值，即导数为零，即当x=1时，f'（x）=-x^2+2bx+c=0,即 ：
-1+2b+c=0.又由f(x)在x=1处有极值-4/3可得：(-1/3)+b+c+bc=-4/3.
联立方程可解得：b=1,c=-1或b=-1，c=3.再考虑f'（x）=-x^2+2bx+c是口朝下的抛物线，当它取解“b=1,c=-1”时，它的对称轴是x=1,与x轴只在此有一个交点，这就是说f(x)只有一个极值点，三次函数不可能只有一个极值点，要么可以只有一个驻点，但它已有一个极值点（x=1处有极值-4/3），所以这个解不符合题意，舍去。
2) 好像不成立吧，如顾及第一问的的条件，那还有什么任意的c？，b、c都已确定，如不顾及的话，只说g(x)=|f'(x)|的极值，那是不成立的，比如设b=1.1，c=-1，就有|f'（x）|=|-x^2+2bx+c|，由最大值公式知：f'（x）=-x^2+2bx+c的最大值为c+b^2=0.21.
3) 好像更没有意义，由g(x)=|f'(x)|=|-x^2+2bx+c|，而f'(x）=-x^2+2bx+c的对称轴x=b，
则|f'(b）|=|b^2+c|就是|f'(x）|的最大值，当b<-1，b>1，和-1<b<1三种情况时，它的中最大值分别是|f'(1）|、|f'(-1）|和|f'(-b）|，而不管哪一种情况，在b，c取任意值时，是不能保证其大于某数的，就像上一问中的举例一样，所以是否题目有错？