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已知双曲线的实轴与虚轴分别在x轴,y轴上,双曲线上一点P到左焦点F1和右焦点F2的距离分别为37/3和13/3,∠F1PF2的角平分线与x轴交于点Q(12/5,0),求双...
已知双曲线的实轴与虚轴分别在x轴,y轴上,
双曲线上一点P到左焦点F1和右焦点F2的距离分别为37/3和13/3
,∠F1PF2的角平分线与x轴交于点Q(12/5,0),求双曲线的标准方程. 展开
双曲线上一点P到左焦点F1和右焦点F2的距离分别为37/3和13/3
,∠F1PF2的角平分线与x轴交于点Q(12/5,0),求双曲线的标准方程. 展开
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设P点坐标为(x1,y1),焦点坐标为(f,0)和(-f,0)
双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
依题:∠F1PQ=∠F2PQ=α;∠F1QP=β,∠F2QP=180-β;
在三角形F1PQ中,由正弦定理:
F1Q/sinα=F1P/sinβ; ......(1)
同理,在三角形F2PQ中
F2Q/sinα=F2P/sin(180-β)=F2P/sinβ;......(2)
(1)/(2)得,
F1Q/F2Q=F1P/F2P
(12/5+f)/(f-12/5)=(37/3)/(13/3)
解得:f=5
所以,a^2+b^2=5^2=25 ....(3)
又,由P到焦点得距离
(x1-5)^2+y1^2=(13/3)^2
(x1+5)^2+y1^2=(27/3)^2
解得:x1=20/3,y1=±4
(20/3)^2/a^2-(±4)^2/b^2=1 ...(4)
联(3)和(4),解得:a^2=16,b^2=9
所求双曲线的方程是x^2/16-y^2/9=1
双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
依题:∠F1PQ=∠F2PQ=α;∠F1QP=β,∠F2QP=180-β;
在三角形F1PQ中,由正弦定理:
F1Q/sinα=F1P/sinβ; ......(1)
同理,在三角形F2PQ中
F2Q/sinα=F2P/sin(180-β)=F2P/sinβ;......(2)
(1)/(2)得,
F1Q/F2Q=F1P/F2P
(12/5+f)/(f-12/5)=(37/3)/(13/3)
解得:f=5
所以,a^2+b^2=5^2=25 ....(3)
又,由P到焦点得距离
(x1-5)^2+y1^2=(13/3)^2
(x1+5)^2+y1^2=(27/3)^2
解得:x1=20/3,y1=±4
(20/3)^2/a^2-(±4)^2/b^2=1 ...(4)
联(3)和(4),解得:a^2=16,b^2=9
所求双曲线的方程是x^2/16-y^2/9=1
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