Question

已知正方形ABCD,E为AB中点,F为AD中点,连接CE,BF交于点G,连接DG,求证CD=DG

Answer 1

解:过点D作DH‖BF,交BC于点H,交CE于点M,连接HG ∵E为AB中点,F为AD中点 ∴AF=BE 在△ABF和△BCE中 ∵AF=BE,∠A=∠ABC=90,AB=BC ∴△ABF≌△BCE(SAS) ∴∠AFB=∠BEC ∵∠AFB+∠ABF=90 ∴∠BEC+∠ABF=∠BGC=90 ∵DH‖BF,AD‖BC ∴四边形DFBH是平行四边形 ∴BH=HC=FD ∴点H为BC边的中点 ∵∠BGC=90 ∴GH=HC ∵BF‖DH ∴∠EMH=∠HCM=90 在△GHM和△CHM中 ∵GH=CH,HM=HM,∠EMH=∠HCM=90 ∴△GHM≌△CHM(HL) ∴GM=CM 在△GMD和△CMD中 ∵GM=CM,∠GMD=∠CMD=90,DM=DM ∴△GMD≌△CMD(SAS) ∴CD=DG 或许步骤太多了你不爱看,那我把我的解题思路跟你说一下:由△ABF≌△BCE可证明∠BGC=90,再因为DH‖BF可求出:∠GMD=∠CMD=∠EMH=∠HCM=90 在Rt△BGC中,由于H是斜边BC的中点,可求出BH=CH=GH.根据以上的条件,可先证明△GHM≌△CHM(HL)从而得出GM=CM,然后再利用这个条件,证明△GMD≌△CMD(SAS),所以CD=DG