Question

函数周期性

证明
1f(x)是周期为T的周期函数，则f(ax+b)是周期为T/a的周期函数
2若函数f(x)关于X= A,和X=B对称，则f(x)是周期为2A-2B的周期函数

Answer 1

（一）证明：可设函数g(x)=f(ax+b).∵由题设可知，f(x+t)=f(x).∴f[(ax+b)+t]=f(ax+b).即g(x)=f(ax+b)=f[(ax+b)+t]=f[a(x+t/a)+b]=g(x+t/a),∴g(x+t/a)=g(x),即函数g(x)是周期为t/a的周期函数，∴f(ax+b)是周期为t/a的周期函数。（二）由题设可知，对任意x∈R,恒有f(2a-x)=f(x),且f(2b-x)=f(x).在f(2b-x)=f(x)中，令x=2a-x,则f[2b-(2a-x)]=f(2a-x)=f(x).∴f(x)=f[x+(2b-2a)].∴函数f(x)是周期为2b-2a的周期函数。

Answer 2

（1）证明：可设函数g(x)=f(ax+b).∵由题设可知，f(x+t)=f(x).∴f[(ax+b)+t]=f(ax+b).即g(x)=f(ax+b)=f[(ax+b)+t]=f[a(x+t/a)+b]=g(x+t/a),∴g(x+t/a)=g(x),即函数g(x)是周期为t/a的周期函数，∴f(ax+b)是周期为t/a的周期函数。
（2）由题设可知，对任意x∈R,恒有f(2a-x)=f(x),且f(2b-x)=f(x).在f(2b-x)=f(x)中，令x=2a-x,则f[2b-(2a-x)]=f(2a-x)=f(x).∴f(x)=f[x+(2b-2a)].∴函数f(x)是周期为2b-2a的周期函数。