平面体系的几何组成分析
平面体系的几何组成分析
按照机械运动及几何学的观点，对平面结构或体系的组成情况进行分析，称为平面体 系的几何组成分析。
一、名词定义
(一)刚片和刚片系
不会产生变形的刚性平面体称为刚片。在体系的几何组成分析中，不考虑杆件微小的 应变，这种不计应变的平面杆件就是刚片，由刚片组成的体系称为刚片系。
(二)几何可变体系和几何不变体系
当不考虑材料的应变时，体系中各杆的相对位置或体系的形状可以改变的体系称为几 何可变体系。否则，体系就称为几何不变体系。一般的实际结构，都必须是几何不变体系。
(三)自由度、约束和对象
物体运动时的独立几何参数数目称为自由度。例如一个点在平面内的自由度为2，一个刚片在平面内的自由度为3。
减少体系独立运动参数的装置称为约束，被约束的物体称为对象。使体系减少一个独立运动参数的装置称为一个约束。例如一根链杆相当于一个约束;一个连接两个刚片的单铰相当于二个约束;一个连接n个刚片的复铰相当于n—1个单铰;一个连接二个刚片的单刚性节点相当于三个约束;一个连接n个刚片的复刚性节点相当于n—1个单刚性节点。
一个平面体系的自由度w可按下式确定
W=3n—2H—R
其中n为体系中的刚片总数，H、R分别为体系中的单铰总数和支杆总数。例如图1-1所示体系的自由度分别为1和0。自由度大于零的体系一定是几何可变的。自由度等于零及小于零的体系，可能是几何不变的也可能是几何可变的，要根据体系中的约束布置情况确定。
(a) (b)
图1-1
(四)必要约束和多余约束
如果在体系中增加一个约束，体系减少一个独立的运动参数，则此约束称为必要约束。如果在体系中增加一个约束，体系的独立运动参数并不减少，则此约束称为多余约束。平面内一个无铰的刚性闭合杆(或称单闭合杆)具有三个多余约束。
(五)等效代替
1.等效刚片
几何组成分析时，一个内部几何不变的平面体系，可用一个相应的刚片来代替，此刚片称为等效刚片。
2.等效链杆
几何组成分析时，一根两端为铰的非直线形杆件，可用一根相应的两端为铰的直线形 链杆来代替，此直线形链杆称为等效链杆。
3.虚铰
连接两个刚片的两根链杆的交叉点或其延长线的交点称为虚铰(如图1-2)。两根链杆对两个刚片运动的约束效果与相应的虚铰是等效的。
(a) (b)
图1-2
二、平面体系的几何组成分析
(一)平面几何不变体系的基本组成规则及瞬变体系、常变体系
判定体系是否满足几何不变的充分条件是几何不变体系的基本组成规则。
1.两刚片连接规则
两个刚片用不相交于一点或不互相平行的三根链杆连接成的体系，是内部几何不变且无多余约束的体系。
2.三刚片连接规则
三个刚片用三个不在一条直线上的单铰(虚铰或实铰)两两相连而成的体系，是内部几何不变且无多余约束的`体系。
两刚片、三刚片连接规则实际上是可以相互变换沟通的。
3.两元片和一元片规则
由上述两刚片、三刚片连接规则可得如下的两元片和一元片规则。由两根不在同一直线上的链杆连接一个新节点的装置称为两元片;由三根不相交于一点的链杆连接一个刚片的装置称为一元片。在一个体系上增加或去除两元片、一元片，不影响原体系的几何不变性或可变性。
4.瞬变体系和常变体系
只能作微小运动的体系称为瞬变体系。例如图1-3所示的体系均为瞬变体系。能作非常微小运动的体系称为常变体系。如一个实铰连接两个刚片的体系及用三根等长且都平行的链杆连接两个刚片的体系都是常变体系。
(a) (b) (c)
图1-3
(二)几何组成分析例题
[例1-1] 分析图1-4(a)所示体系的几何组成。
(a) (b)
图1-4
[解] 体系的自由度W=3×3-2×2-5=0。根据两元片规则，将地基延伸至固定铰A、C处，并将地基作为刚片I，将杆件BEFG作为刚片Ⅱ(图1-4(b))，刚片I和Ⅱ由支座链杆B、等效链杆AE、CG相连接，这三根链杆不相交于一点，体系是几何不变的，且无多余约束。
[例1-2] 分析图1-5(a)所示体系的几何组成。
(a) (b)
图1-5
[解] 体系的自由度W=3×10—2×12—6=0。将地基并连同杆件ACG、BFJ作为刚片I、杆件DH、EI作为刚片Ⅱ、Ⅲ(图1-5(b))，则刚片I、Ⅱ、Ⅲ由三个虚铰(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)两两相连，其中虚铰(ⅡⅢ)由一组平行链杆形成，而虚铰(IⅡ)、(IⅢ)的连接线平行于形成虚铰(ⅡⅢ)的两根平行链杆，可视为三虚铰在同一直线上，体系为瞬变体系。
[例1-3] 分析图1-6(a)所示体系的几何组成。
[解] 体系的自由度W=3×8—2×10-4=0。根据两元片规则，将地基延伸至固定铰A处，并将地基作为刚片I，将CEF作为等效刚片Ⅱ，DB杆作为刚片Ⅲ，这三个刚片由三个虚铰(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)两两相连，如图1-6(b)所示。因形成无穷远处的两个虚铰(IⅢ)、(ⅡⅢ)的两组平行链杆不相互平行，故体系是无多余约束的几何不变体。
(a) (b)
图1-6
[例1-4] 分析图1-7(a)所示体系的几何组成。
(a) (b)
图1-7
[解] 体系的自由度W=3×9—2×12—3=0。根据一元片规则，去除图1-7(a)所示体系的一元片，得图1-7(b)所示体系。再将杆件AB、CE、DF分别作为刚片I、Ⅱ、ⅡⅢ，这三个刚片由三组平行链杆形成的三个无穷远处的虚铰(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)两两相连，根据三刚片连接规则，体系为无多余约束的几何可变体系(无穷远处的三个点在一广义直线上)。
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