Question

已知,实数x,y,z满足x+y+z>0,xy+yz+xz>0,xyz>0, 求证:x>0,y>0,z>0

Answer 1

证明：

xyz＞0，所以x、y、z都大于0或者其中两个小于0，另一个大于0

显然x、y、x都大于0是恒成立，

假设是第二种情况，不放设x＞0，y＜0，z＜0，则

xy+yz+xz=x(y+z)+yz＜-(y+z)²+yz=-(y²+z²+yz)＜0

与xy+yz+xz＞0矛盾

所以此情况不成立

即x＞0,y＞0,z＞0

得证

谢谢