Question

怎么寻找向量空间的一组基？

Answer 1

寻找向量空间的一组基：

（α1，α2，α3） 

1 2 5

1 3 7

1 4 9

所以 r（α1，α2，α3）=2，L（α1，α2，α3） 的维数为3，α1，α2 为其一组基，且该向量空间与三维向量空间R^3不相等。

如果没有条件限制，a0、a1、a2、a3任意取值，就是四维。但a1、a3关联，a0、a1关联，实际上只有两个是自由、任意的，所以维数是2。要找到一组基，只需给自由的两个分别取值1、0；0、1即可，也即x³＋x和x²-1。

如果承认良序定理

或任何选择公理的等价物，那么作为推论，可以证明任何的向量空间都拥有一组基。（证明：良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势（元素个数），叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理，它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。