Question

线代证明题 已知r(A)=r(A^2),证明r(A)=r(A^3)

Answer 1

显然 AX=0 的解是 A^2X=0 的解
因为 r(A)=r(A^2)
所以AX=0的基础解系是A^2X=0的基础解系
故方程组AX=0与 A^2X=0 同解.
显然 A^2X=0 的解是 A^3X=0 的解
设X0是A^3X=0的解, 则 A^2(AX0)=0
所以AX0是 A^2X=0 的解.
由AX=0与 A^2X=0 同解
所以AX0是AX=0的解
所以 A(AX0)=A^2X0=0
即 X0 也是A^2X=0 的解
所以 A^2X=0 与 A^3X=0 同解
所以 r(A^2)=r(A^3)
所以 r(A)=r(A^3)