Question

关于傅里叶变换的理解

Answer 1

傅里叶分析可分为傅里叶级数和傅里叶变换。傅里叶分析可以将任何周期函数看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加，一个矩形波在傅里叶变换后在频域中变为一条条幅值。
例如收音机接收到的信号是多个电台的信号波叠加，如果直接播放我们不能听到任何声音。收音机通过傅里叶变换将信号波分解为特定频率的信号，从而听到某个电台的节目。

傅里叶空间中的每个向量都可以表示为其一组基的无限线性组合，这就是傅里叶展开。这一组基互相正交，称为傅里叶基。
傅里叶级数就是将傅里叶空间中的一个向量通过基的线性组合的方式写出来（一个基的线性组合），每一个基的系数可以通过内积计算得到。
傅里叶级数的指数形式，通过欧拉公式将三角函数转换为指数函数，同时引入虚数i。 exp(ix)=cos(x)+isin(x) ，复平面的向量 (cos(x), isin(x)) 与 exp(ix) 等价（上述公式可用泰勒级数证明）。当 exp(ix) 中的 x 变成时间 t 时，随着时间的流逝，该向量就会在 2π 秒后旋转一圈，即 T=2π 。因此， exp(iwt) 是一个旋转的向量。傅里叶级数就从以三角函数作为基的线性组合就变为指数函数为基的线性组合。

当周期函数的周期趋于无穷时，无穷级数转换为积分，此时实数轴上的每个点都对应一个基，该积分就是这无限个基的“线性组合”。

正空间的晶格做傅里叶变换得到倒易空间（傅里叶空间），在正空间具有周期性的晶格在倒易空间变为倒格子（透射电镜下投影为二维点阵），而在正空间混乱的晶格在倒空间也将是混乱的。正空间表示时域，倒易空间表示频域。由于晶格的周期性，因此关于晶格的所有性质都可以经过傅里叶变换进行计算。