Question

正交矩阵的行列式是什么？

Answer 1

正交阵：AA^T=E，取行列式为|A||A^T|=1，由于|A^T|=|A|，因此|A|^2=1，于是|A|=1或－1。

设A是正交矩阵：

则 AA^T=E。

两边取行列式得：|AA^T| = |E| = 1。

而 |AA^T| = |A||A^T| = |A||A| = |A|^2。

所以 |A|^2= 1。

所以 |A| = 1 or -1。

定义及概述：

定义：A是一个n阶方阵，Aт是A的转置。如果有AтA=E(单位阵)，即Aт等于 A的逆，则称A是正交矩阵。

正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素正交矩阵来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。

要看出与内积的联系，考虑在 n 维实数内积空间中的关于正交基写出的向量 v。v 的长度的平方是 vTv。

有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。n×n 正交矩阵形成了一个群，即指示为 O(n) 的正交群，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如，分子的点群是 O(3) 的子群。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质，它们是字数值线性代数中很多算法比如 QR分解的关键，通过适当的规范化，离散余弦变换 (用于 MP3 压缩)可用正交矩阵表示。

阶实矩阵 A称为正交矩阵，如果：A×Aт=E。