Question

向量，矩阵和张量的导数 | 简单的数学

Answer 1

前段时间看过一些矩阵求导的教程，在看过的资料中，尤其喜欢斯坦福大学CS231n卷积神经网络课程中提到的Erik这篇文章。循着他的思路，可以逐步将复杂的求导过程简化、再简化，直到发现其中有规律的部分。话不多说，一起来看看吧。

本文旨在帮助您学习向量、矩阵和高阶张量（三维或三维以上的数组）的求导方法，以及如何求对向量、矩阵和高阶张量的导数。

在求关于数组的导数时，大部分困惑都源自于我们想要一次同时做好几件事。这“几件事”包括同时对多个元素求导、在求和符号下求导以及应用链式法则。至少在我们积累丰富的经验之前，想要同时做这么多件事情是很容易犯错的。

为了简化给定的计算，有一种方法是：写出输出中 单个标量元素 的表达式，这个表达式只包含 标量 变量。一旦写出了输出中单个标量元素与其他标量值的表达式，就可以使用标量的微积分求导方法，这比同时进行矩阵的求和、求导要容易得多。

例子  假设我们有一个长度为 的列向量 ，它是由 行 列的矩阵 与长度为 的向量 计算得到的：

假设我们想求 对 的导数。完整的求导过程需要计算 中的每一个元素对 中的每一个元素的（偏）导数，在这种情况下，我们会算出 个元素，因为 中有 个元素而 中有 个元素。

让我们先从计算其中一个元素开始，比如， 中的第3个元素对 中的第7个元素求导。也就是说，我们要计算

也就是一个标量对另一个标量求导。

在求导之前，我们要先写出 的表达式。根据矩阵-向量乘法的定义，矩阵 的第3行与向量 的点积就是 的值。

此时，我们已经将原始矩阵方程式（1）简化为了一个标量方程，从而更容易计算所需的导数。

虽然我们可以尝试直接求式（2）的导数，但包含求和符号或连乘符号的表达式在求导时很容易出错。为了确保万无一失，在刚开始的时候最好去掉求和符号，把各项相加的表达式写出来。我们可以写出以下表达式，下标由“1”开始

当然，这个表达式中包括了含有 的项，这一项正是我们求导需要的项。现在不难看出，在求 对 的偏导数时，我们只关心这个表达式中的一项， 。由于其他项都不包括 ，他们对 的导数都是0。由此，我们写出

通过把关注点放在 中的一个元素对 中的一个元素的求导过程，我们尽可能地简化了计算。以后当你在矩阵求导计算中产生困惑时，也可以试着将问题简化到这个最基本的程度，这样便于看清哪里出了问题。

别忘了，我们的终极目标是计算 中每个元素对 中每个元素的导数，这些导数总共有 个。以下矩阵可以表示所有这些导数：

在这种特殊情况下，它被称为 雅可比矩阵（Jacobian maxtirx） ，但这个术语对理解我们的目的而言并不那么重要。

注意，对于公式

对 的偏导数可以简单地用 来表示。如果挨个儿检查整个矩阵中的所有元素，就不难发现，对所有的i和j来说，都有

也就是说，偏导数的矩阵可以表示为

现在可以看出，这个矩阵当然就是矩阵 本身。

因此，推导了这么半天，我们终于能得出，对

求 对 的导数相当于

在使用不同的神经网络库时，留意权重矩阵、数据矩阵等矩阵的具体表达形式是非常重要的。例如，如果一个数据矩阵 包含许多不同的向量，那么，在这个矩阵中，是一个行向量表示数据集中的一个样本，还是一个列向量表示一个样本？

在第一部分的例子中，我们计算的向量 是一个列向量。然而，当 是行向量的时候你也得明白该怎么算。

假设 是含有 个元素的行向量，它是由含有 个元素的行向量 与 行 列的矩阵 计算得到的：

虽然 和 中的元素数量都和之前一样，但矩阵 的形状相当于我们在第一个例子中使用的矩阵 的 转置（transpose） 。尤其是因为我们现在是矩阵 左乘 ，而不是之前的右乘，现在的矩阵 必须是第一个例子中矩阵 的转置。

在这个例子中，写出 的表达式

会得到

注意这个例子中的元素序号与第一个例子中相反。如果写出完整的雅可比矩阵，我们仍然可以得出

现在假设一个与前两部分密切相关的情形，如下式

在这个情况下， 沿一个坐标轴变化，而 沿两个坐标轴变化。因此，整个导数自然会是一个 三维 数组。在这里，我们避免使用“三维矩阵”这样的术语，因为尚不清楚矩阵乘法和其他矩阵运算在三维数组中是如何定义的。

在处理三维数组的时候，尝试去找出展示它们的方法可能会带来不必要的麻烦。相反，我们应该简单地用表达式写出结果，用这些表达式可以计算出所需三维数组中的任何元素。

让我们继续以标量导数的计算开始，比如 中的一个元素 和 中的一个元素 。我们先用其他标量写出 的表达式，这个表达式还要体现出 在其计算中所起的作用。

然而，我们发现 在 的计算中没有起到任何作用，因为

也就是说

不过， 对 中第3列元素求导的结果一定是非零的。例如 对 的偏导数为

其实仔细看式（8）就很容易发现这一点。

一般情况下，当 中元素的下标等于 中元素的第二个下标时，这个偏导数就是非零的，反之则为零。我们由此写出：

除此以外，三维数组中的其他元素都是0。如果用 表示 对 求导得出的三维数组

其中

但是 中的其他项都为0。

最终，如果我们定义一个新的 二维 数组

就可以看出，我们需要的所有关于 的信息实际上都可以用 来储存，也就是说， 的非零部分其实是二维的，而不是三维的。

以紧凑的形式表示导数数组对于神经网络的高效实现而言至关重要。

前面的例子已经是很好的求导练习了，但如果需要用到多条数据，也就是多个向量 堆叠在一起构成矩阵 时，又该如何计算呢？我们假设每个单独的 都是一个长度为 的行向量，矩阵 是一个 行 列的二维数组。而矩阵 ，和之前的例子一样，是一个 行 列的矩阵。 的定义如下

它是一个 行 列的矩阵。因此， 的每一行将给出一个与输入 的相应行相关的行向量。

按照我们写出给定元素表达式的方法，可以写出

我们马上就能从这个式子中看出，对于偏导数

只有 的时候计算结果才不为零。也就是说，因为 中的每一个元素都只对 中相应的那一行求导， 与 的不同行之间的偏导数都为0。

我们可以进一步发现

完全不依赖于我们比较的是 和 的哪一行。

事实上，矩阵 完整包含了所有的偏导数——我们只需要根据式（10）和下标来找到我们想要的特定偏导数。

如果用 表示 中的第 行，用 表示 中的第 行，可以发现

正是对之前式（7）的一个简单的普遍化形式。

我们已经通过几个例子学会了一些基本形式的计算，现在通过链式法则把这些例子结合在一起。再次假设 和 是两个列向量，让我们从下式开始

尝试计算 对 的导数。我们可以简单地观察到两个矩阵 和 的乘积就是另一个矩阵 ，因此可以写出

然而，我们想通过链式法则来定义中间结果，以观察在非标量求导过程中是如何应用链式法则的。

我们把中间结果定义为

于是有

然后我们可以运用链式法则写出

为了确保我们确切地知道该式的含义，再次采用每次分析一个元素的老办法，从 中的一个元素和 中的一个元素开始：

右边的乘积该怎么解释呢？链式法则的思想是将 对 每个标量 中间变量的导数与中间变量对 的导数 相乘 。特别地，如果 有 个元素，那么可以写出

回忆之前关于向量对向量求导的计算方法，发现

其实是 ，而

其实是 。所以可以写出

这就是用 中的元素写出的求导表达式，至此我们得出了答案。

综上所述，我们可以用链式法则来表示向量和矩阵的导数，只需要注意：

清楚说明中间结果和表示中间结果的变量，

表示出最终导数中各个元素的链式法则，

对链式法则表达式中的中间结果适当求和。

参考资料：

http://cs231n.stanford.edu/vecDerivs.pdf