Question

请教一道高中函数题

设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>=0时，f(x)=x^2,若对于任意的x属于[t,t+2],不等式f(x+t)>=2f(x)恒成立。则实数t的取值范围是------------。

Answer 1

【根号2，正无穷）
解：f(x)=x^2 x>0
=-x^2 x<0
若对于任意的x属于[t,t+2],不等式f(x+t)>=2f(x)恒成立
(1)x+t>=x 则t>=0
那么（x+t）^2>=2x^2
则 x^2-2tx-t^2<=0 即(x-t)^2-2t^2<=0
因为对于x属于【t,t+2]恒成立，即最大值小于等于0
即（t+2-t)^2-2t^2<=0 则t>=根号2 或者t<=-根号2
那么t>=根号2
（2）x+t<=x 即t<=0
①t+2>0 即-2<t<0 在这种情况下f(x)有正值，且其值大于f(t+x)故无解
②t+2<0 即t<-2 那么-(x+t)^2>=-2x^2
即x^2-2tx-t^2<=0 则(x-t)^2-2t^2>=0 即最小值大于等于0
那么(t-t)^2-2t^2>=0 则t=0 故无解
则 无解
综上所述 t的取值范围为【根号2，正无穷）