设m,n为整数,求证:x^2+10mx－5n±3=0没有整数根
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x^2+10mx－5n±3=0
(1)x^2+10mx－5n+3=0
把原方程变换一下：
n = ( x^2 + 10mx +3 ) / 5
设存在整数根,即x为整数时可以使上式成立.
由于n是整数,必须要求 x^2 + 10mx +3 的个位数是0或者5（即被5除尽）,
而m与x均为整数,
10mx的个位数必定是0,
则要求x^2的个位数是2或者7.
但是x^2是完全平方数,
完全平方数的个位数只可能是0,1,4,5,6,9.不可能是2或者7,
所以这时x不可能为整数.
这与当前假设x为整数是矛盾的.
所以不可能存在整数根.
(2)x^2+10mx－5n-3=0
n = ( x^2 + 10mx -3 ) / 5
同理 第二个方程的证明方法和第一个方程一样.
(1)x^2+10mx－5n+3=0
把原方程变换一下：
n = ( x^2 + 10mx +3 ) / 5
设存在整数根,即x为整数时可以使上式成立.
由于n是整数,必须要求 x^2 + 10mx +3 的个位数是0或者5（即被5除尽）,
而m与x均为整数,
10mx的个位数必定是0,
则要求x^2的个位数是2或者7.
但是x^2是完全平方数,
完全平方数的个位数只可能是0,1,4,5,6,9.不可能是2或者7,
所以这时x不可能为整数.
这与当前假设x为整数是矛盾的.
所以不可能存在整数根.
(2)x^2+10mx－5n-3=0
n = ( x^2 + 10mx -3 ) / 5
同理 第二个方程的证明方法和第一个方程一样.
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