Question

什么叫做χ2分布，其期望和方差是多少?

Answer 1

卡方分布的期望和方差是：E(X)=n，D(X)=2n

t分布：E(X)=0(n>1)，D(X)=n/(n-2)(n>2)

F(m,n)分布：E(X)=n/(n-2)(n>2)

D(X)=[2n^2*(m+n-2)]/[m(n-2)^2*(n-4)](n>4)

卡方分布(χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布，k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布，卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。

二项分布：

在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。

Answer 2

卡方分布（χ2分布）是一种特殊的概率分布，它来源于随机变量为标准正态分布的平方和。在统计学中，卡方分布被广泛应用于假设检验、置信区间估计和方差分析等领域。
对于自由度为k的卡方分布，其期望值（均值）为k，方差为2k。
具体来说，如果X1，X2，...，Xk是独立的标准正态分布随机变量，那么和它们平方之和的随机变量Y服从自由度为k的卡方分布，即：
Y = X1^2 + X2^2 + ... + Xk^2
卡方分布的概率密度函数为：
f(y) = (1 / (2^(k/2) * Γ(k/2))) * y^(k/2 - 1) * e^(-y / 2)
其中，Γ(x)是伽玛函数，(k/2)表示自由度k为偶数时，伽玛函数的参数为(k/2)，为奇数时为[(k-1)/2]。