向量组的秩有什么性质?

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刺任芹O
2022-09-29 · TA获得超过6.2万个赞
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秩的性质:

1、矩阵的行秩,列秩,秩都相等。

2、初等变换不改变矩阵的秩

3、如果A可逆,则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

4、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理:设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n,则A的列秩,秩都等于n。

当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵。

扩展资料

极大无关组

设在线性空间VV中有一族向量SS(其中可能只有有限个向量,也可能有无限个向量),如果在SS中存在一组向量{α1,α2,⋯,αr}{α1,α2,⋯,αr}适合下列条件:

α1,α2,⋯,αrα1,α2,⋯,αr线性无关;

这组向量中的任意一个向量都可以用α1,α2,⋯,αrα1,α2,⋯,αr线性表示,那么称{α1,α2,⋯,αr}{α1,α2,⋯,αr}是向量族SS的极大线性无关组,简称极大无关组。

上述定义(2)表示若将SS中任一向量αα加入{α1,α2,⋯,αr}{α1,α2,⋯,αr},则向量组{α1,α2,⋯,αr,α}{α1,α2,⋯,αr,α}一定线性相关。

设SS是有限个向量组成的向量族且至少包含一个非零向量,则SSr的极大无关组一定存在。

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