Question

一元二次方程应用题求解

1.于X的一元二次方程x的平方+（2k-3)x+k的平方=0有两个不相等的实数根p,q
（1）求K的取值范围;
(2)若p+q+pq=6,求(p-q)的平方+3pq-5的值
2.将一条长为20厘米的铁丝剪成2段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是（ ）平方厘米。。。。。

Answer 1

解：
有两个不相等实数根
那么得到：
(2k-3)²-4k²>0
4k²-12k+9-4k²>0
12k<9
k<3/4

由韦达定理得到：
p+q=3-2k pq=k²
k²-2k+3=6
k²-2k-3=0
(k-3)(k+1)=0
k=-1 k=3(舍去)

(p-q)²+3pq-5
=p²+q²-2pq+3pq-5
=p²+q²+2pq-pq-5
=(p+q)²-pq-5
=(3-2k)²-k²-5
=(3+2)²-1-5
=19

解：设一个正方形的周长为4a 那么另一个周长=20-4a
边长分别是a ,5-a
a²+(5-a)²
=2a²-10a+25
=2(a²-5a)+25
=2[a²-5a+(5/2)²]+25-2×(5/2)²
=2(a-5/2)²+25-25/2
=2(a-5/2)²+25/2
所以当a=5/2时 面积和最小值是25/2平方厘米

Answer 2

1)△>0 (2k-3)^2-4k^2=-12k+9>0 k<3/4
2) p+q=3-2k pq=k^2 则
3-2k+k^2=6
k^2-2k-3=0
(k-3)(k+1)=0
k=-1 (k=3>3/4,此时方程无解,舍去)
(p-q)^2+3pq-5
=(p+q)^2-pq-5
=(3-2k)^2-k^2-5
=3k^2-12k+4
=3+12+4
=19

2. 设其中一段长4X,则另一段长20-4X,两正方形边长分别为X,5-X
S=X^2+(5-X)^2=2X^2-10X+25=2(X-5/2)^2-25/2+25
最小值为-25/2+25=12.5平方厘米