Question

高数选择题第二题，答案上面有，求过程详解，谢谢

Answer 1

我有一到跟这差不多的题你看一下过程
设平面区域D={（x，y）|1≤x 2+y 2≤4，x≥0．y≥0}．计算 ∫∫ D xsin(π
x2+y2) x+ydxdy．
答案
∵积分区域D关于x，y的对称性
∴ ∬ D xsin(π
x2+y2) x+ydxdy= ∬ D ysin(π
x2+y2) x+ydxdy
因此有：
∬ D xsin(π
x2+y2) x+ydxdy= 1 2[ ∬ D xsin(π
x2+y2) x+ydxdy+ ∬ D ysin(π
x2+y2) x+ydxdy]
= 1 2 ∬ D (x+y)sin(π
x2+y2) x+ydxdy
= 1 2 ∬ Dsin（π
x2+y2）dxdy
令x=rcosθ，y=rsinθ   r∈[1，2]，θ∉[0， π 2]；
于是原积分可化为：
∬ D xsin(π
x2+y2) x+ydxdy= 1 2 ∬ Dsin（π
x2+y2）dxdy
= 1 2 ∫
π 2
0
dθ ∫
2
1
rsinπrdr
= π 4 ∫
2
1
rsinπrdr
= 1 4 ∫
2
1
rsinπrdπr
= 1 4×（- ∫
2
1
rdcosπr）
= 1 4×（-rcosπr |
2
1
+ ∫
2
1
cosπrdr）
= 1 4×（-3+ ∫
2
1
cosπrdr）
=- 3 4．
故本题答案为：- 3 4．