Question

高阶导数求导公式

Answer 1

常见高阶导数公式有莱布尼兹公式(uv)(n)=u(n)v+nu(n-1)v+n(n-1)/2!u(n-2)v"+n(n-1)...(n-k+1)u(n-k)v(k)+...+ uv(n)；e（x）的任意导数都是e（x），即e（x）的n次方=e（x）。

扩展资料

　　第一个：无穷等比数列所有项之和，q=2x。

　　第二个，定积分公式，定积分等于原函数积分上下限值之差。

　　这个应该可以用数学归纳法证明：

　　a）duv/dx = u'v + uv'得证

　　b)假设(uv)^(k) = sum(C(n,k)u^(k)v^(n-k))

　　则uv的第k+1次导数

　　(uv)^(k+1) = d((uv)^(k))/dx = dsum(C(n,k)u^(k)v^(n-k))/dx

　　=sum(C(n,k) du^(k)v^(n-k)/dx)

　　=sum(C(n,k)u^(k+1)v^(n-k) + C(n,k) u^k v^(n-k+1))

　　对上市重新整理，考虑上式中的u^(k)v^(n-k+1)项，它的系数应该是C(n,k)+C(n,k-1)

　　一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上的导数可由归纳法逐阶定义。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。从概念上讲，高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算，但从实际运算考虑这种做法是行不通的。因此有必要研究高阶导数特别是任意阶导数的计算方法。

　　可见导数阶数越高，相应乘积的`导数越复杂，但其间却有着明显的规律性，为归纳其一般规律，乘积的 n 阶导数的系数及导数阶数的变化规律类似于二项展开式的系数及指数规律。