Question

定积分的计算方法是什么？

Answer 1

解题如下：

∫ 1/sinx dx
= ∫ cscx dx
= ∫ cscx * (cscx - cotx)/(cscx - cotx) dx
= ∫ (- cscxcotx + csc²x)/(cscx - cotx) dx
= ∫ d(cscx - cotx)/(cscx - cotx)
= ln|cscx - cotx| + C

扩展资料：

积分的定义：

（1） 定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。

（2）这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

（3）一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

参考资料来源：百度百科：定积分

Answer 2

定积分∫[0,3](x+2)dx/√(x+1)计算举例

• 本文主要内容：

通过凑分、分部积分、换元等定积分计算方法，介绍求解定积分∫[0,3](x+2)dx/√(x+1)的值主要步骤和方法。



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• 直接积分法：

∫[0,3](x+2)dx/√(x+1)

=∫[0,3](x+2)d(x+1)/√(x+1),本步骤公式:d(x+1)=1dx.

=2∫[0,3](x+2)d(x+1)/2√(x+1),本步骤为凑分法.

=2∫[0,3](x+2)d√(x+1)

=2∫[0,3]xd√(x+1)+4∫[0,3]d√(x+1)，将积分部分分项得到.

=2x√(x+1)[0,3]-2∫[0,3]√(x+1)dx+4√(x+1)[0,3]

=2*6-2∫[0,3]√(x+1)d(x+1)+4(2-1).

=2*6-4/3√(x+1)^3[0,3]+4(2-1).

=20/3.



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• 换元法：

设√(x+1)=t，则x=(t^2-1),则：

当x=0时，t=1；当x=3时，t=2，此时有：

∫[0,3](x+2)dx/√(x+1)

=∫[1,2][(t^2-1)+1]d[(t^2-1)]/t

=2∫[1,2][(t^2-1)+2]dt

=2∫[1,2](t^2+1)dt

=2(1/3t^3+t)[1,2]

=2[1/3(2^3-1^3)+1(2-1)]

=20/3.



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• 定积分：

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点xi将区间[a,b]分为n 个小区间，在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ri（i=1,2,3„,n） ，作和式f(r1)+...+f(rn) ，当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x) 在区间上的定积分.

这里，a 与 b叫做积分下限与积分上限，区间[a,b] 叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。



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• 一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

∫(a,b)[f(x)±g(x)]dx=∫(a,b)f(x)±∫(a,b)g(x)dx

∫(a,b)kf(x)dx=k∫(a,b)f(x)dx。



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