Question

（2012•太原模拟）设函数f(x)＝a(x+1x)+2lnx，g(x)＝x2．？

Answer 1

解题思路：（1）由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，两次求出的斜率相等列出关于切点的横坐标x的方程，求出切点的坐标，根据得出的切点坐标，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可．
（2）通过解f′（x），求其单调区间，转化为恒成立问题求a的取值范围．
（1）若a＝
1
2时，
∵f′(x)＝
1
2(1−
1
x2)+
2
x=
x2+4x−1
2x2，g'（x）=2x
因为直线l与函数f（x）、g（x）的图象相切于同一点，
从而有：
x2+4x−1
2x2=2x（4分）
解得x＝1，x＝
1
4，（x=-1不在定义域内，故舍去）
又f'（1）=2，f（1）=1，
f′(
1
4)＝
1
2，f(
1
4)＝
1
16，
g'（1）=2，g（1）=1；
g′(
1
4)＝
1
2，g(
1
4)＝
1
16．
①当x=1时，则l的方程为：y=2x-1
②当x＝
1
4时，又因为点(
1
4，
1
16)也在f（x）的图象上，
所以l的方程为y＝
1
2x−
1
16．
综上所述直线l的方程为y=2x-1或y＝
1
2x−
1
16．
（2）∵f′(x)＝a(1−
1
x2)+
2
x=
ax2+2x−a
x2，
要使f（x）在[2，4]为单调增函数，则f′（x）≥0在[2，4]恒成立，
即
ax2+2x−a
x2≥0在[2，4]恒成立，即ax2+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
又a（x2-1）≥-2x即a≥
2x
1−x2＝
,9,（2012•太原模拟）设函数 f(x)＝a(x+ 1 x )+2lnx，g(x)＝ x 2 ．
（1）若 a＝ 1 2 时，直线l与函数f（x）和函数g（x）的图象相切于同一点，求切线l的方程；
（2）若f（x）在[2，4]内为单调函数，求实数a的取值范围．
说明：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．