一个圆锥内有一个半径为1的内切球，求所有这样的圆锥的体积的最小值
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设母线与底面的夹角2a,底面半径R,内切球半径r=1,圆锥的高h
则：R=r*ctga=ctga, h=R*tan2a=ctga*tan2a=2/(1-(tana)^2)
圆锥的体积V=(1/3)pi*R^2*h=(1/3)pi*(1/(tana)^2)*2/(1-(tana)^2)
=(2pi/3)/[(tana)^2*(1-(tana)^2]
而2a<90度，a<45度，所以：tana<1, 1-(tana)^2>0
又因为：(tana)^2+(1-(tana)^2)=1=定值
所以：当(tana)^2=1-(tana)^2=1/2,即tana=(根号2)/2时,
V最小=(2pi/3)/[(1/2)(1/2)]=8pi/3
则：R=r*ctga=ctga, h=R*tan2a=ctga*tan2a=2/(1-(tana)^2)
圆锥的体积V=(1/3)pi*R^2*h=(1/3)pi*(1/(tana)^2)*2/(1-(tana)^2)
=(2pi/3)/[(tana)^2*(1-(tana)^2]
而2a<90度，a<45度，所以：tana<1, 1-(tana)^2>0
又因为：(tana)^2+(1-(tana)^2)=1=定值
所以：当(tana)^2=1-(tana)^2=1/2,即tana=(根号2)/2时,
V最小=(2pi/3)/[(1/2)(1/2)]=8pi/3
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系科仪器
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