Question

如何理解正交矩阵的特征值只能是1或-1？

Answer 1

正交矩阵的特征值一定是1或-1。

(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα

= α^Tα = (α,α)

所以有 λ^2(α,α) = (α,α)

又因为 α≠0, 所以 (α,α)>0

所以 λ^2 = 1

所以 λ = ±1

即正交矩阵的特征值只能是1或-1。

正交矩阵的特点如下：

1、实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。

2、任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）

3、对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。

4、比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值1。