Question

不定积分怎么算？

Answer 1

三种方式计算不定积分∫x√(x+2)dx。

• 主要内容：

通过根式换元、分项凑分以及分部积分法等相关知识，介绍不定积分∫x√(x+2)dx的三种计算方法和步骤。



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• 根式换元法：

设√(x+2)=t，则x=(t^2-2),代入得：

∫x√(x+2)dx

=∫t*(t^2-2)d(t^2-2),

=2∫t^2*(t^2-2)dt,

=2∫(t^4-2t^2)dt,

=2/5*t^5-4/3*t^3+C,

=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,



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• 根式部分凑分法

∫x√(x+2)dx

=∫x√(x+2)d(x+2),

=2/3∫xd(x+2)^(3/2),

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 2/3∫(x+2)^(3/2)dx,

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/3∫(x+2)^(3/2)d(x+2),

=2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/15*(x+2)^(5/2)+C,



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• 整式部分凑分法

A=∫x√(x+2)dx,

=(1/2)∫√(x+2)dx^2,

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/2)∫x^2d√(x+2),

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫x^2/√(x+2)dx,

=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫[x(x+2)-2*(x+2)+4]/√(x+2)dx,



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=(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)A+1/2∫√(x+2)dx-∫dx/√(x+2),

即：(5/4)A=(1/2)x^2√(x+2)+1/2∫√(x+2)dx-2∫dx/2√(x+2),

A=(2/5)x^2√(x+2)+2/5∫√(x+2)d(x+2)-8/5√(x+2),

A=(2/5)x^2√(x+2)+4/15(x+2)^(3/2)-8/5*√(x+2)+C。



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• 不定积分概念

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。



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• 不定积分的计算

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。



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Answer 2

具体过程如下：

∫√(1+x^2 )dx

令x=tant

原式=∫sect·dtant 

=sect·tant-∫tantdsect

=sect·tant-∫tant·tantsectdt

=sect·tant-∫(sec²t-1)sectdt

=sect·tant-∫(sec³t-sect)dt

=sect·tant-∫sec³tdt+∫sectdt

=sect·tant-∫sect·dtant +∫sectdt

所以

2×∫sect·dtant=sect·tant-∫sect·dt

=sect·tant-ln|zhuansect+tant|+2c

=x√(1+x²)-ln|x+√(1+x²)|+2c

即

原式=1/2x√(1+x²)-1/2ln|x+√(1+x²)|+c

扩展资料：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。