为什么指数可以为负值?
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指数是可以以负数为底的.比如(-2)^2;但是函数是不一样的.如果指数函数的底可以是负数的话,那么它的定义域就无法确定(负数的指数不能为1/2,1/4,1/6等等),那么所有的指数函数就无法系统的研究它的性质因为没有规律性,所以规定指数函数的底必须为正实数.
真数没有限制,限制的是底数。这个涉及到函数定义域和值域的取值范围。基本上高中接触的函数定义域和值域最大也就是实数集。举个指数函数的例子(对数函数不好理解):假如底数为-2,指数为1/2,那么幂是多少?答案是根号负二。请注意啊,实数范围内是没有负数的平方根的。因此指数函数的底数必须是正数,作为指数函数的反函数,对数函数当然也要有这种规定了。当然了如果硬要问个究竟,那复变函数了解一下。
指数函数
一般的,形如
其中 a 叫做底数, a>0且 a≠1 ,x叫做指数,是函数的自变量,取值范围x∈R。也许你会好奇的问,为何底数a 不能取1或者负数,如果a=1,此时原函数就是一个常数函数 ; 而当 a 取负数的时候,我们来看一个特殊情况
做出图形如下
从图形来看,随着自变量 x 的 增加,因变量y 在 -1 和 1 之间来回震荡,这对函数的影响极其恶劣,甚至造成函数的不连续性,为后续的研究带来很多麻烦,所以才人为规定底数不能为负数,并不是说指数函数底数原生不能为负数。 指数函数的性质从图形来看,随着自变量 x 的 增加,因变量y 在 -1 和 1 之间来回震荡,这对函数的影响极其恶劣,甚至造成函数的不连续性,为后续的研究带来很多麻烦,所以才人为规定底数不能为负数,并不是说指数函数底数原生不能为负数。 指数函数的性质
在明确长什么样的是指数函数之后,我们要对指数函数的性质进行探讨,分为 01两种情况并结合图像来讨论
从图像看到此时指数函数具备如下性质
自变量可以取实数R中任意值,函数值取遍
减函数,即随着自变量 x的增加,函数值反而减少,最后无限接近x轴
过固定点(0, 1)
函数图像向右下倾斜,且越来越平缓
(2)当 a>1时
自变量可以取实数R中任意值,函数值取遍
增函数,即随着自变量 x 的增加,函数值也在增加,最后走向无穷大
过固定点(0, 1)
函数图像向右上峭,且越来越陡
指数函数的运算法则
我们把m,n当成一些整数就很好理解了,第一个表示 m个 a相乘后的积再与n个a相乘的积作乘法,写出来就是
第一个等式后面的第一个等式括号里面有m 个 a,第二个括号里面有 n 个 a,第二个等式后面有 m+n个 a。第二个和第三个也可以用同样的办法来解释,最后重点解释一下
假设,现在让等式两边同时作n次方运算,根据性质3,等式左边,而等式右边为,于是,两边再开n次方,得到 。如果你不想记住这些运算法则,那么你可以让a,m,n取一些特殊值来找规律
真数没有限制,限制的是底数。这个涉及到函数定义域和值域的取值范围。基本上高中接触的函数定义域和值域最大也就是实数集。举个指数函数的例子(对数函数不好理解):假如底数为-2,指数为1/2,那么幂是多少?答案是根号负二。请注意啊,实数范围内是没有负数的平方根的。因此指数函数的底数必须是正数,作为指数函数的反函数,对数函数当然也要有这种规定了。当然了如果硬要问个究竟,那复变函数了解一下。
指数函数
一般的,形如
其中 a 叫做底数, a>0且 a≠1 ,x叫做指数,是函数的自变量,取值范围x∈R。也许你会好奇的问,为何底数a 不能取1或者负数,如果a=1,此时原函数就是一个常数函数 ; 而当 a 取负数的时候,我们来看一个特殊情况
做出图形如下
从图形来看,随着自变量 x 的 增加,因变量y 在 -1 和 1 之间来回震荡,这对函数的影响极其恶劣,甚至造成函数的不连续性,为后续的研究带来很多麻烦,所以才人为规定底数不能为负数,并不是说指数函数底数原生不能为负数。 指数函数的性质从图形来看,随着自变量 x 的 增加,因变量y 在 -1 和 1 之间来回震荡,这对函数的影响极其恶劣,甚至造成函数的不连续性,为后续的研究带来很多麻烦,所以才人为规定底数不能为负数,并不是说指数函数底数原生不能为负数。 指数函数的性质
在明确长什么样的是指数函数之后,我们要对指数函数的性质进行探讨,分为 01两种情况并结合图像来讨论
从图像看到此时指数函数具备如下性质
自变量可以取实数R中任意值,函数值取遍
减函数,即随着自变量 x的增加,函数值反而减少,最后无限接近x轴
过固定点(0, 1)
函数图像向右下倾斜,且越来越平缓
(2)当 a>1时
自变量可以取实数R中任意值,函数值取遍
增函数,即随着自变量 x 的增加,函数值也在增加,最后走向无穷大
过固定点(0, 1)
函数图像向右上峭,且越来越陡
指数函数的运算法则
我们把m,n当成一些整数就很好理解了,第一个表示 m个 a相乘后的积再与n个a相乘的积作乘法,写出来就是
第一个等式后面的第一个等式括号里面有m 个 a,第二个括号里面有 n 个 a,第二个等式后面有 m+n个 a。第二个和第三个也可以用同样的办法来解释,最后重点解释一下
假设,现在让等式两边同时作n次方运算,根据性质3,等式左边,而等式右边为,于是,两边再开n次方,得到 。如果你不想记住这些运算法则,那么你可以让a,m,n取一些特殊值来找规律
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