Question

如图，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE.PF分别交AB.AC于点E.F

给出以下四个结论：1.AE=CF 2。△EPF是等腰直角三角形 3。S 0.5四边形AEPF=S△ABC
4.EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A.B重合）
上述结论始终正确的有（ ）
(2)选择其中两个正确的给予证明

Answer 1

1：连结AP

因为等腰直角三角形ABC，P是斜边BC中点

所以∠B=∠C=∠PAE=45°，且PC=PA，∠APC=90°

因为直角∠EPF

所以∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°

所以∠APE=∠CPF

因为∠APE=∠CPF，AP=CP,∠PAE=∠PCF

所以△APE≌△CPF

所以AE=CF，结论1正确

2：因为△APE≌△CPF，所以PE=PF

所以△EPF是等腰直角三角，结论2正确

3：因为△APE≌△CPF

所以S△CPF=S△APE

所以S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC

很明显△APC的面积是△ABC的一半

所以S四边形AEPF=1/2*S△ABC，结论3正确

4：很明显结论4不正确，因为等腰直角三角形EPF的边PF的长度是在变化的，所以EF也在变化，而AP是定值，所以不可能恒等

综上，正确的结论是1,2,3

（2）以上全部证明了~~~~~~~

Answer 2

解：∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴∠EAP=1/2∠BAC=45°，AP=1/2BC=CP．
（1）在△AEP与△CFP中，∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，∴△AEP≌△CFP．正确；
（2）由（1）知，△AEP≌△CFP，∴PE=PF．又∵∠EPF=90°，∴△EPF是等腰直角三角形．正确；
（3）∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=1/2S△ABC．正确；
（4）不能得出EF=AP，错误．
选择1、2、3