Question

已知函数在x=0附近有一个极限为1，求x趋于0时的极限。

Answer 1

[(tanx)/x]^(1/x²)

= e^ln[(tanx)/x]/x²

= e^[ln(tanx) - lnx]/x²

lim(x→0) [ln(tanx) - lnx]/x²,0/0型,洛必达法则

= lim(x→0) (sec²x/tanx - 1/x)/(2x)

= lim(x→0) [1/(sinxcosx) - 1/x]/(2x)

= lim(x→0) (x - sinxcosx)/(2x²sinxcosx)

= lim(x→0) [x - (1/2)sin2x]/(x²sin2x),0/0型,洛必达法则

= lim(x→0) (1 - cos2x)/(2x²cos2x + 2xsin2x)

= lim(x→0) [1 - (1 - 2sin²x)]/(2x²cos2x + 2xsin2x)

= lim(x→0) 2sin²x/(2x²cos2x + 2xsin2x)

= lim(x→0) x²/(x²cos2x + xsin2x),sin²x x²当x→0

= lim(x→0) x/(xcos2x + sin2x)

= lim(x→0) 1/[(xcos2x + sin2x)/x]

= lim(x→0) 1/[cos2x + (sin2x)/(2x) · 2]

= 1/(1 + 2)

= 1/3

∴lim(x→0) [(tanx)/x]^(1/x²) = e^(1/3)

扩展资料

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

7、利用两个重要极限公式求极限。

8、利用左、右极限求极限（常是针对求在一个间断点处的极限值）。

9、洛必达法则求极限。