Question

证明不等式 (n+1)/3<(n!)^(1/n)

Answer 1

一个思想，仅供参考，谢谢@！

这个证明应该是n>=1开始的
首先，从数学归纳法的角度可以知道前面的几项成立
也就是n=1,2/3<1……
下面就要证明一般性
当n趋于正无穷的时候，证明上式
右边=e^[1/n *lnn!]=e^[1/n(ln1+ln2+……+lnn-nlnn+lnn)]
=e^[1/n(ln1+ln2+……+lnn-nlnn)+lnn]
=e^[1/n(ln1/n+ln2/n+……+lnn/n)+lnn]
其中1/n(ln1/n+ln2/n+……+lnn/n)可用定积分求得∫<0+,1>lnxdx
这是个反常积分，算的结果为(xlnx-x)|x(0+->1)=-1
所以，右边=e^(-1+lnn)=n/e(e≈2.8)
所以，(n+1)/3<n/e,，在n取得足够大以后[即n>(e/(3-e)]，均有上式成立
所以，在数学归纳前部分项[即n<(e/(3-e)]成立，后面的成立
那么，综上就可以知道n>=1上式均成立。

Answer 2

这题可以利用阶乘的一个著名估计(n/e)^n<n!<e(n/2)^n
取左边的不等式有n/e<(n!)^(1/n)
以下只要验证(n+1)/3<n/e即可——显然n充分大（比如n>8）时成立
当n较小时，需要直接验证原题结论：
n=1：2/3<1
n=2：3/3<2^(1/2)
……
n=8：9/3<(8!)^(1/8)（即3^8<8!）

Answer 3

这个证明应该是n>=1开始的
首先，从数学归纳法的角度可以知道前面的几项成立
也就是n=1,2/3<1……
下面就要证明一般性
当n趋于正无穷的时候，证明上式
右边=e^[1/n *lnn!]=e^[1/n(ln1+ln2+……+lnn-nlnn+lnn)]
=e^[1/n(ln1+ln2+……+lnn-nlnn)+lnn]
=e^[1/n(ln1/n+ln2/n+……+lnn/n)+lnn]
其中1/n(ln1/n+ln2/n+……+lnn/n)可用定积分求得∫<0+,1>lnxdx
这是个反常积分，算的结果为(xlnx-x)|x(0+->1)=-1
所以，右边=e^(-1+lnn)=n/e(e≈2.8)
所以，(n+1)/3<n/e,，在n取得足够大以后[即n>(e/(3-e)]，均有上式成立
所以，在数学归纳前部分项[即n<(e/(3-e)]成立，后面的成立
那么，综上就可以知道n>=1上式均成立。 （仅供参考）